I dibattiti intorno al concetto di atomo hanno attraversato l’intera storia del pensiero scientifico e filosofico. La domanda fondamentale che è stata discussa in epoche diverse, con atteggiamenti diversi, può essere così riassunta: il mondo che chiamiamo «materiale» è divisibile, all’infinito, in parti sempre più piccole o è invece costituito da combinazioni di oggetti ultimi, che sono indivisibili, e che i filosofi greci chiamarono appunto «atomi»? In realtà, questa domanda sorge non solo a proposito del mondo fisico, ma anche nella matematica. Pensiamo, per esempio, ad una retta. Come dobbiamo concepire questo fondamentale ente geometrico? Come un oggetto ideale, che è potenzialmente suddivisibile all’ infinito, o invece come un insieme di elementi indivisibili, rappresentati dai punti? Su questa questione si sono scontrate concezioni diverse dell’infinito, che hanno dovuto fare i conti anche con alcuni intriganti paradossi logici. I più antichi sono i celebri paradossi di Zenone di Elea, che hanno rappresentato un rompicapo in tutta la storia della matematica e sono ancora oggi oggetto di discussioni importanti. Secondo Zenone, è impossibile per il piè veloce Achille raggiungere una tartaruga. Infatti, per percorrere la distanza che lo separa dalla tartaruga, Achille dovrebbe prima percorrere la metà di quella distanza, e prima ancora la metà di quella metà, e così via all’ infinito. Non ci sarebbe dunque il tempo necessario per raggiungere la tartaruga. Molti secoli dopo, i paradossi dell’infinito turbarono anche il pensiero di Galileo. Il suo ragionamento intorno alle «stranezze» dell’infinità dei numeri naturali (1, 2, 3,…) può essere così riassunto: ad ogni numero naturale è possibile associare in modo biunivoco il suo doppio (che è un numero pari). Dunque, sembra giusto concludere che i numeri naturali sono tanti quanti i numeri pari. Nello stesso tempo si deve ammettere che i numeri naturali sono di più dei numeri pari, perché esistono infiniti numeri dispari. Questo sembra dar luogo ad una contraddizione che Galileo non riuscì a risolvere. Una soluzione rigorosa per le antinomie dell’infinito fu trovata solo nella seconda metà del Novecento, nel contesto della teoria degli insiemi, creata dal matematico Georg Cantor. L’idea «rivoluzionaria» di Cantor è stata quella di proporre come definizione di infinito proprio quelle proprietà che erano apparse contraddittorie: diversamente dagli insiemi finiti, gli insiemi infiniti sono quegli insiemi che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con una loro parte propria. Su questa base Cantor elaborò una nuova teoria dei numeri transfiniti, che permetteva di spiegare le «stranezze» dell’infinito, messe in luce da Zenone e da Galileo. In realtà, anche la teoria originaria di Cantor non era immune da contraddizioni, che furono scoperte e poi corrette da Bertrand Russell all’inizio del Novecento. Oggi abbiamo a disposizione una varietà di teorie assiomatiche degli insiemi che costituiscono un buon fondamento per le più importanti teorie matematiche conosciute, che hanno un ruolo importante anche nel linguaggio della fisica. Le teorie degli insiemi di ispirazione cantoriana sono caratterizzate da una concezione attuale dell’infinito, che potremmo chiamare «atomistica». Il continuo geometrico viene rappresentato come un insieme di elementi indivisibili che coesistono: i punti, a cui corrispondono i numeri reali. Nelle discussioni moderne sui fondamenti della matematica è stata proposta anche una visione alternativa (difesa, per esempio dai matematici intuizionisti) secondo cui il continuo deve essere rappresentato come un oggetto ideale olistico, che è suddivisibile all’infinito solo potenzialmente.